Estoy asumiendo que quieres la ruta más simple, y no quieres comprometerte a comprar un controlador de hardware.
Si quieres mezclar en vivo y posiblemente grabar tus sets, Virtual DJ -como otros han sugerido- es una buena opción. No soy un fanático, pero entiendo que es popular entre los principiantes, y la última versión parece ser una actualización significativa (aún no la he probado). Yo prefiero (y uso) Cross DJ de MixVibes . También hay una versión gratuita. Los dos principales contendientes en este campo son Traktor y Serato, pero definitivamente se necesita un controlador de hardware para cualquiera de ellos. Yo diría que incluso para Cross y Virtual DJ, pero YMMV.
También hay versiones de Cross DJ para iOS y Android, que pueden ser mucho más divertidas, ya que mezclar con ratón y teclado no es la experiencia más gratificante, mientras que la interfaz de la pantalla táctil de las versiones móviles está muy bien diseñada y puedes obtener buenos resultados con una curva de aprendizaje suave y corta.
Si quieres hacer un trabajo de "estudio", y retocar tu mezcla de manera no real, yo no iría por la ruta de Audacity como sugiere Shim On Um, porque cosas que ciertamente puedes lograr con un editor de audio normal o incluso con un DAW te llevará mucho más trabajo que con un software especializado.
MAGIX ACID (anteriormente de Sony) es un software de producción musical que funciona bien con la construcción de sets de DJ. Obtienes un control realmente detallado sobre los resultados finales, a costa de cierta complejidad (pero mucho menos que trabajar con un DAW normal). Lamentablemente, hoy en día no existe una versión gratuita.
Otra opción es MixMeister. El paradigma es similar a Acid, pero específicamente para la producción de sets de DJ. Lo encuentro bueno, pero caro. No hace mucho encontré MixTape Pro, que tiene muchas de las características significativas de MixMeister (incluso tocar en directo mientras se manipula la mezcla, cosa que MixMeister sólo tiene en la versión más cara) por menos dinero. Eso sí, es sólo para Mac.
Pero vienen las recompensas para los que no TL;DR y llegaron hasta aquí. Hace un tiempo existía un extraño hardware para DJs llamado Pacemaker. No lograron un gran éxito, y ahora venden una aplicación para iOS. Pero su software complementario para ese dispositivo realmente te permite construir sets de DJ (estilo estudio, no "en vivo"). Es más que decente, el flujo de trabajo está muy bien pensado, el conjunto de características es suficiente, y está disponible de forma gratuita para Mac o PC aquí. Dado que el proyecto ha sido abandonado, no esperes actualizaciones o soporte, lo cual es triste. Pero ya he hecho algunos sets con él, y se está convirtiendo en mi arma de elección para el trabajo de estudio en trabajos de DJ no complejos (para la refactorización severa de la pista prefiero ir a Acid, RemixLive de MixVibes, o incluso Ardour (lo sé, aconsejé en contra de los DAWs, pero...).
Así que, en pocas palabras: para la mezcla en vivo podrías evitar el PC por completo y utilizar tu teléfono móvil o tableta con Cross DJ y tener un montón de diversión. Para mezclar en el estudio, hazte con Pacemaker y disfruta mientras dure. Pero ten cuidado: puede que te lo pases tan bien que pronto estés comprando controladores de hardware.