Si te refieres a la aplicación integrada de Notas, la respuesta es que no puedes, al menos no de forma realista. No hay una forma directa de hacerlo, en absoluto.
Antes de iOS 9, Notas utilizaba el protocolo IMAP (el mismo que se utiliza para el correo electrónico) para sincronizar las Notas, y de hecho tus notas se almacenaban en una carpeta IMAP de tu cuenta de correo electrónico de iCloud o de otro tipo. En iOS 9, el IMAP se sigue utilizando para las cuentas que no son de iCloud, sin embargo iCloud ahora ha cocinado su propio protocolo para sincronizar las notas con la nube y otros dispositivos.
Apple no ha liberado este protocolo, y de hecho ni siquiera lo soporta ni lo utiliza para nada más que iCloud (si configuras Notas para una cuenta que no sea de iCloud, sigue funcionando como lo hacía antes de iOS 9.
En teoría, probablemente podrías idear alguna solución de terceros que sincronizara una carpeta de un almacén IMAP con una carpeta en Dropbox, pero esto no sería realmente una forma práctica de abordar el problema. Tendrías que construir y ejecutar algo en tu propio ordenador que hiciera la sincronización, o tendrías que encontrar un servicio de terceros y darles tu iCloud (u otra cuenta de correo electrónico) y las credenciales de Dropbox para realizar la sincronización por ti.
Sería mucho mejor que encontraras una aplicación de terceros para tomar notas en la App Store que ofrezca la sincronización con Dropbox - sé que hay algunas que lo hacen, aunque no puedo recordar ninguna en concreto.