Físicamente, en mi ordenador, ¿dónde puedo codificar? He aprendido lo básico de JavaScript y me gustaría escribir un código y que se ejecute. ¿Hay alguna aplicación que deba descargar?

Para escribir un programa en cualquier lenguaje simplemente necesitas un editor de texto plano (como el Bloc de notas si estás en Windows. No es muy agradable, sin embargo, porque no está realmente diseñado para codificar. Es mejor descargar un editor de texto como Notepad++ o Sublime).

Para ejecutar el programa necesitas un compilador y/o intérprete del lenguaje. Así, por ejemplo, si quieres ejecutar un código Python, necesitas descargar un intérprete de Python (Python.org), si quieres compilar y ejecutar programas Java necesitas descargar el Java Developer Kit (Java SE - Downloads), y así sucesivamente.

En el caso de Javascript, sin embargo, no necesitas descargar nada especial porque se ejecuta en tu navegador (es decir, si ya tienes IE, Chrome, Firefox o lo que sea, puedes ejecutar código Javascript). A very easy way to see this in action is to write some script between

  1. document.write("Hello world") 
  2.  

It's worth adding that if you wanted to run Javascript scripts in an environment outside of the browser, you would indeed have to download a separate special program: node.js