Qué es mejor para las apps de iOS: los storyboards o el desarrollo programático?

Los storyboards.

No hay ninguna desventaja en usar Storyboards. Puedes trabajar muy rápido y dar cuerpo a una aplicación completa en un día más o menos.

Si necesitas añadir un elemento, o hacer un cambio, es rápido hacerlo en la GUI.
Incluso puedes hacer pantallas y botones que funcionen, sin absolutamente nada de código.

Si luego quieres añadir alguna personalización a esos elementos, puedes hacerlo de forma programática.

Construir una aplicación de forma 100% programática parece que es hacer las cosas de la forma más difícil porque sí.

En un proyecto reciente, el cliente quería un comportamiento de segues no estándar.
Utilicé storyboards para maquetar la aplicación - utilizando segues estándar. Y cuando eso funcionaba, volvía y los cambiaba programáticamente.

Edición:
Eric Harmon
ha señalado un inconveniente. El storyboard es un único archivo. Lo que significa que en un entorno de equipo, se hace imposible que varios desarrolladores editen el contenido del storyboard simultáneamente.

Este es un problema legítimo. Una solución es hacer que un individuo sea el jefe del guión gráfico. Pero eso no se ajustaría a todas las organizaciones.

En situaciones con grandes equipos y jerarquías de interfaz de usuario muy complejas hay un caso para dividir la interfaz de usuario en NIBs individuales o construir más del contenido programáticamente.