Creo que cuando dices "mensaje normal" te refieres a un SMS / mensaje de texto, y las principales diferencias entre un SMS y una notificación push son las siguientes:
- Los mensajes SMS se envían a números de teléfono... así que mientras el remitente tenga tu número de teléfono puede enviarte un mensaje SMS. Por el contrario, las notificaciones push sólo se pueden enviar a las personas que han descargado la aplicación móvil del remitente y todavía la tienen instalada.
- Las notificaciones push hoy en día pueden ser bastante ricas en su formato - por ejemplo, puede incrustar imágenes en el mensaje (fondo típicamente); puede controlar/reproducir diferentes tipos de sonidos de notificación cuando se entregan; puede poner botones de interacción en ellos y más. Por el contrario, los SMS -que en realidad son las siglas de Short Message Service- se limitan principalmente a texto simple en su formato.
- Los mensajes SMS no necesitan que tengas un "plan de datos" para recibirlos. Por supuesto, depende de su proveedor de telecomunicaciones y de su plan, pero normalmente los mensajes de voz y de texto se incluyen juntos. Por el contrario, las notificaciones push requieren un plan de datos (o conexión WiFi) para recibirlas
Espero que esto ayude