Primero, haz una copia de seguridad de todo lo que quieras conservar de tu portátil. Fotos, archivos de datos, música, todos los archivos que sean de valor para ti deben ser respaldados. Después de instalar Linux Mint, todos ellos desaparecerán.
Luego, vaya a la Página Principal - Linux Mint y descargue el .iso para Mint. Hay varias opciones, ya que Linux Mint está disponible en diferentes entornos de escritorio. Ya que estás migrando a Linux desde Windows, recomiendo Linux Mint 18.1 Serena con el escritorio Cinnamon. Cinnamon es el más pulido y parecido a Windows de los entornos de escritorio, por lo que te será más fácil la adaptación. Pero como dijiste que querías "la mejor velocidad", puede que prefieras la versión Mate. Mate tiene un aspecto similar al de Windows y funcionará más rápido en un netbook. La versión Xfce es más ligera, aún, y funcionaría bien, pero nunca la he encontrado estéticamente agradable o tan fácil de usar como Cinnamon o Mate.
Después de descargar el archivo .iso de la versión que quieras, tendrás que grabarlo en una memoria USB. Para esa tarea, te recomiendo Etcher, un programa sencillo y eficaz para este fin. Puedes descargar la versión para Windows en Etcher by resin.io. Inserta tu memoria USB (todos los datos de este USB se borrarán, ¡así que asegúrate de que no contiene nada importante!), selecciona el archivo .iso de Linux mint que has descargado y deja que Etcher escriba Linux Mint en la memoria USB.
Cuando esto termine, tendrás que reiniciar tu portátil. Asegúrate de que la BIOS está configurada para permitir el arranque desde el USB. Es posible que tenga que pulsar una tecla en el arranque para seleccionar el dispositivo de arranque (en un Dell, por ejemplo, esto se hace con la tecla F12). El portátil arrancará desde la unidad USB y se cargará el sistema operativo Linux Mint.
Puede probar Linux Mint ejecutándolo desde el USB. Es una buena idea "probar" el sistema operativo primero si nunca has usado Linux antes. Revise las características, asegúrese de que todo funciona y esté seguro de que se siente cómodo con el funcionamiento de Linux Mint antes de instalarlo. Cuando esté listo para hacerlo, encontrará un icono en el escritorio que ejecutará el proceso de instalación.
Dado que quiere reemplazar a Windows, cuando Mint le pregunte cómo quiere instalar, seleccione todo el disco duro. Mint se instalará solo. Durante este proceso, puedes conectarte a la red inalámbrica para que las actualizaciones y las unidades se descarguen e instalen automáticamente. Recomiendo seleccionar las opciones que instalan los códecs multimedia, también. De esta manera, todo funciona "out of the box", como dicen.
Cuando la instalación termine, Mint te pedirá que reinicies. Hazlo, siguiendo las instrucciones que aparecen en pantalla para retirar la unidad USB en un momento determinado, y cuando tu portátil se reinicie, tendrás Linux Mint.
¿La mejor noticia? Si no te gusta, hay muchas otras grandes distros disponibles para un portátil antiguo. Si Mint no te convence, te recomiendo que pruebes Elementary Linux o Porteus Linux. Al igual que Mint, son fáciles de usar cuando se pasa de Windows, pero ambas ofrecen una interfaz de escritorio sencilla y un buen rendimiento en equipos antiguos.