Recientemente Google ha anunciado que ha añadido soporte para Linux a Chrome OS con la posibilidad de ejecutar aplicaciones de Linux a través de una instancia de máquina virtual, pero que sólo está disponible por ahora en el libro Google Pixel.
Enlace: Chrome OS Now Supports Linux Apps, But Only On Google Pixelbook
Si no tienes un Pixelbook entonces creo que no hay realmente un método efectivo para ejecutar Eclipse en un Chromebook.
Asumiendo que no tienes un portátil para llevar a clase, realmente te animaría a comprar uno para tus cursos de Informática. Un Chromebook simplemente no tiene la capacidad de ejecutar ciertas aplicaciones que podrías necesitar durante tu clase. Por ejemplo, ejecutar un servidor de bases de datos, instalar compiladores, etc.
La única forma en que podrías ejecutar Eclipse en este caso sería si instalaras Linux en tu Chromebook. Usando Crouton puedes instalar diversas variantes de Linux como Gallium OS, Ubuntu, Debian y Kali. Muchos de estos tutoriales se pueden encontrar simplemente buscando en Google.
Si no te apetece convertir tu sistema operativo a una versión de Linux siempre puedes abrir una conexión remota a través de una conexión VNC a otro ordenador que lo tenga instalado. Esto se puede hacer instalando la aplicación de Escritorio Remoto de Chrome en tu otro ordenador, o configurando un servidor VNC allí antes de usar un cliente VNC de la Chrome Store para conectarse al servidor.