Una secuencia infinita es una lista ordenada de elementos en la que cada elemento tiene asignada una determinada posición en la lista. Las posiciones en la lista se suelen designar con números naturales, empezando por el 1. Sin embargo, hay algunas secuencias infinitas en las que los elementos tienen asignadas posiciones que no son números naturales; éstas se llaman secuencias infinitas no estándar. ¿Para qué se utilizan las series infinitas? Las series infinitas se utilizan de diversas maneras en matemáticas y física. Un uso común es definir funciones que no son posibles de definir usando un número finito de términos. Por ejemplo, la función f(x) = 1/x puede definirse mediante la serie infinita f(x) = 1 + 1/x + 1/x^2 + 1/x^3 + ... Otro uso común es la aproximación de funciones que son difíciles de calcular exactamente. ¡Por ejemplo, la serie infinita e^x = 1 + x + x^2/2! ¡+ x^3/3! + ... puede utilizarse para aproximar la función exponencial e^x para valores pequeños de x. ¿Para qué se utilizan las series infinitas? Hay muchos usos para las series infinitas en matemáticas y física. Uno de los usos más comunes es aproximar una función que es demasiado difícil de calcular directamente. Por ejemplo, la expansión de la serie de Taylor es una forma de aproximar una función utilizando una suma finita de términos en una serie infinita. Otro uso común es definir una función que no se puede definir directamente, como en el caso de la función zeta de Riemann. ¿Son infinitos los números reales? No, los números reales no son infinitos. Los números reales son un subconjunto de los números complejos, que son un subconjunto de los cuaterniones.
¿Quién inventó las series infinitas?
No hay ninguna persona a la que se le pueda atribuir la invención de las series infinitas. En su lugar, el concepto de serie infinita fue desarrollado a lo largo del tiempo por un número de diferentes matemáticos y filósofos.
Algunos de los primeros trabajos sobre las series infinitas fueron realizados por el matemático griego Zenón de Elea (c. 490-430 a.C.), más conocido por sus paradojas. Las paradojas de Zenón pretendían demostrar que el movimiento es imposible, y para ello utilizó la idea de una serie infinita.
El primero en desarrollar un tratamiento sistemático de las series infinitas fue el matemático italiano Giovanni Francesco Maurolico (1433-1517). En su obra Arithmeticorum libri duo (1575), Maurolico dio una definición de serie infinita y derivó una serie de resultados sobre ellas.
El siguiente gran avance en la teoría de las series infinitas fue realizado por el matemático suizo Johann Bernoulli (1667-1748). En su obra Ars Conjectandi (1713), Bernoulli introdujo el concepto de serie convergente, que es una serie que se aproxima a un límite finito a medida que el número de términos llega al infinito. También demostró una serie de resultados importantes sobre las series convergentes, incluyendo el hecho de que pueden ser manipuladas de ciertas maneras sin cambiar su límite.
El matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) también hizo importantes contribuciones a la teoría de las series infinitas. En su obra Nova methodus pro maximis et minimis (1684), Leibniz dedujo una fórmula para la suma de una serie geométrica, que es un tipo de serie infinita que surge con frecuencia en matemáticas y física.
El matemático inglés Isaac Newton (1642-1727) también realizó un importante trabajo sobre las series infinitas. En su obra Methodus fluxionum (1671), Newton desarrolló un método general para sumar series infinitas, que ahora se conoce como el cálculo de ¿Qué es el enésimo término de una secuencia infinita? No hay una respuesta definitiva a esta pregunta, ya que depende de la secuencia específica en cuestión. Sin embargo, el enésimo término de una sucesión se puede encontrar generalmente utilizando una fórmula recursiva o una fórmula explícita, si existe. En algunos casos, también es posible determinar el enésimo término por inspección.